целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно, основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единственным образом разлагается в произведении П. ч. (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). П. ч. бесконечно много (это предложение было известно ещё древнегреческим математикам, его доказательство имеется в 9-й книге "Начал" Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел, а следовательно, вопросы, связанные с П. ч., имеют важное значение при изучении групп (См.
Группа); в частности, строение группы с конечным числом элементов тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы) разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел (См.
Алгебраическое число)
рассматриваются вопросы делимости целых алгебраических чисел; понятия П. ч. оказалось недостаточным для построения теории делимости - это привело к созданию понятия
Идеала
. П. Г. Л.
Дирихле в 1837 установил, что в арифметической прогрессии
а +
bx при
х = 1, 2,... с целыми взаимно простыми
а и
b содержится бесконечно много П. ч.
Выяснение распределения П. ч. в натуральном ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории (См.
Чисел теория)
. Она ставится как изучение асимптотического поведения функции π(
х), обозначающей число П. ч., не превосходящих положительного числа
х. Первые результаты в этом направлении принадлежат П. Л.
Чебышеву
, который в 1850 доказал, что имеются такие две такие постоянные
а и
А, что
< π(
x) <
при любых
x ≥
2 [т. е., что π(
х) растет, как функция
]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж.
Адамар, 1896, Ш.
Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения π(
х) к
равен 1.
В дальнейшем значительные усилия математиков направлялись на уточнение асимптотического закона распределения П. ч. Вопросы распределения П. ч. изучаются и элементарными методами, и методами математического анализа. Особенно плодотворным является метод, основанный на использовании тождества
(произведение распространяется на все П. ч.
р = 2, 3,...), впервые указанного Л.
Эйлером; это тождество справедливо при всех комплексных
s с вещественной частью, большей единицы. На основании этого тождества вопросы распределения П. ч. приводятся к изучению специальной функции - дзета-функции (См.
Дзета-функция)
ξ(
s),
определяемой при Res > 1 рядом
Эта функция использовалась в вопросах распределения П. ч. при вещественных
s Чебышевым; Б.
Риман указал на важность изучения ξ(
s) при комплексных значениях
s. Риман высказал гипотезу о том, что все корни уравнения ξ(
s) = 0, лежащие в правой полуплоскости, имеют вещественную часть, равную
1/
2. Эта гипотеза до настоящего времени (1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса о распределении П. ч. Вопросы распределения П. ч. тесно связаны с Гольдбаха проблемой (См.
Гольдбаха проблема),
с не решенной ещё проблемой "близнецов" и другими проблемами аналитической теории чисел. Проблема "близнецов" состоит в том, чтобы узнать, конечно или бесконечно число П. ч., разнящихся на 2 (таких, например, как 11 и 13). Таблицы П. ч., лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных чисел, показывают наличие весьма больших "близнецов" (например, 10006427 и 10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа. За пределами составленных таблиц известны отдельные П. ч., допускающие простое арифметическое выражение [например, установлено (1965), что 2
11213 -1 есть П. ч.; в нём 3376 цифр].
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. - Л., 1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост Э., Простые числа, пер, с нем., М., 1959.
